Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения

Рассматриваются проблема коэрцитивности, а также вопросы разрешимости краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в ограниченной области, гладкость обобщённых решений и спектральные свойства соответствующих дифференциально-разностных операторов. Полученные результаты имеют важные приложения к теории многослойных пластин и оболочек и к теории эллиптических задач с нелокальными условиями.

Исследуется разрешимость и гладкость обобщённых решений смешанных задач для параболических дифференциально-разностных уравнений.

Рассматриваются эллиптические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие одновременно сжатия и сдвиги, а также сжатия и повороты аргументов старших производных неизвестной функции. Для них изучаются проблема коэрцитивности, вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи в смысле обобщённых решений из пространств Соболева, а также гладкость обобщённых решений.

Исследуются гомотопические инварианты эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и проблема вычисления индекса.

Рассматриваются дифференциально-разностные уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа в неограниченных областях, включая n-мерное вещественное пространство.

Исследовалась проблема вычисления индекса нелокальных эллиптических краевых задач.

Рассматривается разрешимость нелокальных смешанных задач для линейных параболических дифференциальных уравнений. Исследованы нелинейные эллиптические и параболические задачи с нелокальными краевыми условиями. Доказана разрешимость в пространствах Соболева.

Теория нелокальных эллиптических задач была применена к известной нерешённой задаче о существовании полугруппы Феллера, генератором которой является эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с нелокальными краевыми условиями типа Вентцеля. Эти задачи возникают в теории многомерных диффузионных процессов.

Рассматриваются условия существования, единственности и монотонности решений эллиптических и параболических дифференциальных неравенств в различных функциональных классах.

Рассматриваются квазилинейные дифференциальные уравнения и неравенства с нелинейностями типа Кардара-Паризи-Жанга. Исследованы условия существования, единственности и монотонности решений эллиптических и параболических дифференциальных неравенств в различных функциональных пространствах.

Исследованы разрешимость краевых задач для нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений и смешанных задач для нелинейных параболических дифференциально-разностных уравнений.

Исследовано явление возникновения автоколебаний в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью, описываемых квазилинейными параболическими функционально-дифференциальными уравнениями.

Решена задача о существовании неограниченных колеблющихся решений линейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка неустойчивого типа, которая ранее была сформулирована как нерешенная проблема.

Совместно с известным немецким математиком Х.-О. Вальтером впервые были получены как необходимые, так и достаточные условия гиперболичности периодических решений для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка.

Впервые исследованы разрешимость и гладкость обобщённых решений краевых задач для линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа в несамосопряженном случае. Полученные результаты позволили исследовать разрешимость задачи Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием в случае системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с переменными коэффициентами.

Изучена нелокальная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка с интегральными условиями, в том числе исследованы спектральные свойства соответствующих дифференциальных операторов.

В 1961 г. Т. Като сформулировал проблему о квадратном корне из оператора: «Будет ли область определения квадратного корня из регулярно аккретивного оператора совпадать с областью определения квадратного корня из сопряжённого оператора?».

В 1962 г. Ж.Лионс доказал, что гипотеза Т. Като верна для сильно эллиптического дифференциального оператора с гладкими коэффициентами в ограниченной области с однородными условиями Дирихле на границе.

В 1972 г. А.Макинтош построил абстрактный контрпример, показывающий, что гипотеза Т. Като в общем случае может не выполняться. Позднее была доказана справедливость гипотезы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов с измеримыми, ограниченными коэффициентами.

В 2016 году Александром Леонидовичем Скубачевским были получены новые классы регулярно аккретивных операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като (сильно эллиптические функционально-дифференциальные операторы с гладкими коэффициентами и однородными условиями Дирихле на границе и эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением).

Важность исследования системы уравнений Власова-Пуассона связана с тем, что она моделирует многие важные физические явления: кинетику высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе, распределение гравитирующих частиц в межзвёздном пространстве и т.д.

Одной из наиболее актуальных задач является удержание плазмы, т.е. нахождение функций распределения плотности заряженных частиц, являющихся решением смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем, носители которых не пересекаются с границей области.

Получены достаточные условия для внешнего магнитного поля и начальных функций плотности распределения, которые гарантируют существование таких решений для цилиндрической области и полупространства. Доказано существование стационарных решений с носителями, лежащими внутри области, для цилиндрической области и тора, которые соответствуют вакуумным камерам пробочной ловушки и токамака, соответственно.