Научные достижения

Исследованы краевые задачи для эллиптических и сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в ограниченной области. Получены как необходимые, так и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга в алгебраической форме. Исследованы однозначная и фредгольмова разрешимость рассматриваемых задач в весовых пространствах и пространствах Соболева. Для сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов доказаны дискретность и секториальная структура спектра, полнота системы собственных и присоединенных функций и асимптотика собственных значений. Показано, что гладкость обобщённых решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений может нарушаться внутри области и сохраняться лишь в некоторых подобластях. Получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости обобщённых решений на границах соседних подобластей. Исследованы эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением: построено фридрихсово расширение соответствующего оператора, исследован его спектр, исследована гладкость обобщённых решений в подобластях. Установлена связь краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений и нелокальных эллиптических краевых задач.

Доказаны теоремы об однозначной разрешимости, а также гладкости обобщённых решений в подобластях и на границах соседних подобластей в случае смешанных задач для параболических дифференциально-разностных уравнений.

Для линейного функционально-дифференциального уравнения со сжатием и растяжением или сжатием и поворотом аргументов старших производных неизвестной функции получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга в алгебраической форме. Эти условия могут зависеть не только от абсолютного значения коэффициентов, но и от их знака. При некоторых ограничениях на структуру оператора и геометрию области изучаются вопросы существования, единственности и гладкости обобщённых решений краевой задачи для всех возможных значений коэффициентов и параметров преобразований аргументов в уравнении, даже если уравнение не является сильно эллиптическим.

Для линейного функционально-дифференциального уравнения со сжатием и растяжением или сжатием и поворотом аргументов старших производных неизвестной функции получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга в алгебраической форме. Эти условия могут зависеть не только от абсолютного значения коэффициентов, но и от их знака. При некоторых ограничениях на структуру оператора и геометрию области изучаются вопросы существования, единственности и гладкости обобщённых решений краевой задачи для всех возможных значений коэффициентов и параметров преобразований аргументов в уравнении, даже если уравнение не является сильно эллиптическим.

Получены формулы индекса эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, порождённых итерациями неизометрического и непериодического диффеоморфизма замкнутого многообразия. Построены алгебраические индексы для широкого класса функционально-дифференциальных уравнений, порожденных группами квантованных канонических преобразований.

Рассмотрена задача Коши для параболических дифференциально-разностных уравнений с ограниченными начальными функциями. Доказана однозначная разрешимость, построено интегральное представление решений и весовая асимптотическая близость решений к решениям задачи Коши для некоторого классического параболического дифференциального уравнения.

Рассмотрена задача Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с ограниченными краевыми функциями, построено интегральное представление решений, доказана весовая асимптотическая близость решений к решениям задачи Дирихле для некоторого классического эллиптического дифференциального уравнения.

Для гиперболических дифференциально-разностных уравнений построены многопараметрические семейства бесконечно гладких решений.

Разработан единый метод исследования разрешимости эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями для различных случаев структуры нелокальных членов: 1) если носитель нелокальных членов лежит строго внутри области, для нелокальных эллиптических задач с параметром доказана однозначная разрешимость в пространствах Соболева при достаточно больших значениях параметра, лежащего в некотором угле комплексной плоскости, а для общих нелокальных эллиптических задач доказана фредгольмова разрешимость в пространствах Соболева; 2) если носитель нелокальных членов пересекается с границей, но не содержит точек сопряжения, доказана фредгольмова разрешимость в весовых пространствах при условии, что соответствующая локальная задача будет фредгольмова; 3) если носитель нелокальных членов пересекается с границей и содержит точки сопряжения, получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости в весовых пространствах, при этом нелокальная задача и соответствующая локальная задачи могут не быть фредгольмовыми одновременно.

Получена асимптотика решений вблизи точек сингулярности. Это позволило показать, что наличие сколь угодно малых коэффициентов при нелокальных членах может привести к нарушению гладкости обобщённых решений в точках сопряжения, при этом в случае достаточно больших коэффициентов гладкость обобщённых решений в точках сопряжения сохраняется.

Для сильно эллиптических дифференциальных операторов с нелокальными условиями получены достаточные условия полноты собственных и присоединенных функций, а также асимптотика собственных значений.

Исследована проблема вычисления индекса нелокальных эллиптических краевых задач. Построен топологический индекс и доказана теорема об индексе для нелокальных краевых задач, ассоциированных с изометрическим действием дискретной группы степенного роста. В случае неизометрических действий построены топологические индексы задач с использованием методов некоммутативной геометрии (теории циклических когомологий). Получены также условия эллиптичности и формулы индекса задач Соболева с операторами сферического среднего в граничных условиях.

Исследованы нелинейные эллиптические и параболические дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми условиями на сдвигах границы. Сведение этих задач к нелинейным эллиптическим и параболическим дифференциально-разностным уравнениям с однородными условиями Дирихле на границе и применение теории монотонных операторов позволило доказать их разрешимость в пространствах Соболева.

Получены достаточные условия на коэффициенты и меру в нелокальных краевых условиях типа Вентцеля, при выполнении которых эллиптический дифференциальный оператор второго порядка будет генератором полугруппы Феллера. Построены контрпримеры, когда эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с нелокальными краевыми условиями типа Вентцеля не является генератором полугруппы Феллера.

Получен ряд необходимых условий существования и достаточных условий единственности и монотонности решений нелинейных эллиптических и параболических неравенств.

Для решений уравнений и неравенств с нелинейностями типа Кардара-Паризи-Жанга найдены достаточные условия, обеспечивающие неклассические эффекты типа разрушения (затухания) решений, а также компактификации (антикомпактификации) их носителей.

Доказаны теоремы о разрешимости краевых задач для нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений и смешанных задач для нелинейных параболических дифференциально-разностных уравнений.

Получены достаточные условия возникновения бифуркаций Андронова-Хопфа для периодических решений квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений. Этот результат описывает возникновение автоколебаний в лазерных системах с двумерной обратной связью. Для линеаризованного эллиптического функционально-дифференциального оператора получены необходимые и достаточные условия нормальности.

Доказано, что линейное функционально-дифференциальное уравнение второго порядка неустойчивого типа при фиксированной начальной функции и различных значениях начальной производной может иметь не более одного неограниченного колеблющегося решения, если коэффициент в младшем члене, содержащем запаздывание, и само запаздывание — ограниченные непрерывные функции. Если же условие их ограниченности нарушается, показано, что таких решений может быть бесконечное множество.

Были получены как необходимые, так и достаточные условия гиперболичности медленно осциллирующих периодических решений для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка.

Доказана фредгольмова разрешимость краевых задач для дифференциально-разностных уравнений второго порядка нейтрального типа, а также дискретность и секториальная структура спектра соответствующего дифференциально-разностного оператора. Доказано, что при выполнении конечного числа условий ортогональности на правые части уравнения, гладкость обобщённых решений сохраняется на всем интервале. Получены условия на коэффициенты в разностных операторах, которые обеспечивают сохранение гладкости обобщённых решений на всем интервале при любой правой части. Полученные результаты позволили свести задачу Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием в случае системы дифференциально-разностных уравнений первого порядка нейтрального типа с переменными коэффициентами к краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка и доказать однозначную разрешимость этой краевой задачи.

Рассмотрены краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений, содержащих растяжение и сжатие аргумента в старших производных. Доказаны фредгольмовость (однозначная разрешимость) рассматриваемых задач и теоремы о гладкости обобщённых решений.

Получены априорные оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка с интегральными условиями при выполнении некоторых достаточных условий на значения весовых функций в интегральных условиях, рассматриваемых на концах интервала, доказана дискретность и секториальная структура спектра соответствующего оператора. Построен пример, когда указанные достаточные условия на весовые функции не выполняются, а спектр оператора занимает всю комплексную плоскость.

Проблема Т. Като о квадратном корне из оператора формулируется следующим образом: «Будет ли область определения квадратного корня из регулярно аккретивного оператора совпадать с областью определения квадратного корня из сопряженного оператора?»

Было доказано, что следующие классы регулярно аккретивных операторов удовлетворяют гипотезе Т. Като: 1) сильно эллиптические функционально-дифференциальные операторы с гладкими коэффициентами и невырожденными гладкими преобразованиями переменных; 2) эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением.

Рассмотрены классические решения системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем в цилиндре, полупространстве и торе. Получены достаточные условия для внешнего магнитного поля и начальных функций плотности распределения заряженных частиц, которые гарантируют существование и единственность классического решения с носителями, лежащими на заданном расстоянии до границы.

Получены достаточные условия, при которых существует глобальное слабое решение системы Власова-Пуассона с носителями, лежащими строго внутри области.

Доказано существование стационарных классических решений системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем с носителями, лежащими на заданном расстоянии от границы для тора и цилиндрической области.